ﻫﻨﺎﻙ ﻋﺪﺩٌ ﻛﺒﻴﺮٌ ﻻﻧﻬﺎﺋﻲ ﻣﻦ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ، ﻭﻫﻨﺎﻙ ﻋﺪﺩ ﻻﻧﻬﺎﺋﻲ ﻣﻦ ﺍﻟﻄﺮﻕ ﻟﺠﻤﻊ ﻫﺬﻩ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﻭﺍﻟﺘﻼﻋﺐ ﺑﻬﺎ. ﻳﻤﺜﻞ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﻮﻥ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ على ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ، وكل ﻧﻘﻄﺔ ﻋﻠﻰ ﺍلمستقيم تمثل ﻋﺪﺩﺍً.
ﻓﻲ النهاية، ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺮﻏﻢ ﻣﻦ ﺃﻥّ ﻣﻌﻈﻢ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺘﻲ ﻧﺴﺘﺨﺪﻣﻬﺎ ﺗﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ مجموعة صغيرة ﻣﻦ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺍﻟﻬﺎﻣﺔ ﻟﻠﻐﺎﻳﺔ التي تشكل أسس ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ. ﻓﻴﻤﺎ ﻳﻠﻲ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺍﻟﺜﻤﺎﻧﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺗﺤﺘﺎﺟﻬﺎ ﻓﻌﻼً ﻓﻲ ﺑﻨﺎﺀ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﻭﺍﻟﻘﻴﺎﻡ ﺑﺄﻱ ﺷﻲﺀ ﻛﻤﻲ.
ﺍﻟﺼﻔﺮ
ﻳﻤﺜﻞ ﺍﻟﺼﻔﺮ ﻏﻴﺎﺏ ﺍﻷﺷﻴﺎﺀ، وهو ﺃﻳﻀﺎً ﻋﻨﺼﺮ ﺃﺳﺎﺳﻲ ﻓﻲ ﻧﻈﺎﻡ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﻟﺪﻳﻨﺎ. ﻧﺴﺘﺨﺪﻡ ﺍﻟﺼﻔﺮ كمحدد للمرتبة ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻧﻜﺘﺐ ﺃﻋﺪﺍﺩاً ﺑﺄﻛﺜﺮ ﻣﻦ منزلة، ﻭﻳﺘﻴﺢ ﺍﻟﺼﻔﺮ لنا ﻣﻌﺮﻓﺔ ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﻴﻦ 2 ﺩﻭﻻﺭ ﻭ20 ﺩﻭﻻﺭ.
يمثل ﺍﻟﺼﻔﺮ ﺑﺤﺪ ﺫﺍﺗﻪ ﻓﻲ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت رقماً ﻓﻲ ﻏﺎﻳﺔ ﺍﻷﻫﻤﻴﺔ. ﺍﻟﺼﻔﺮ ﺣﻴﺎﺩﻱ ﻟﻠﺠﻤﻊ، ﻭﻫﺬﺍ ﻳﻌﻨﻲ ﺃﻧﻨﻲ ﻓﻲ ﺃﻱ ﻭﻗﺖ ﺃﺿﻴﻒ ﻋﺪﺩﺍً ﻟﻠﺼﻔﺮ، ﺃﺣﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻌﺪﺩ: \( 3=3+0\).
تمثل خاصية الصفر هذه جانباً أساسياً ﻣﻦ ﺍﻟﺤﺴﺎﺏ ﻭﺍﻟﺠﺒﺮ. كما ﻳﻘﻊ ﺍﻟﺼﻔﺮ ﻓﻲ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ، حيث يفصل ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻤﻮﺟﺒﺔ ﻋﻦ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺴﺎﻟﺒﺔ، ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﻬﻮ ﻧﻘﻄﺔ ﺍﻟﺒﺪﺀ ﻓﻲ ﺑﻨﺎﺀ ﻧﻈﺎﻡ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﻟﺪﻳﻨﺎ.
واحد
الرقم وﺍﺣﺪ ﻣﺤﺎﻳﺪ ﻟﻠﻀﺮﺏ، مثلما يكون الصفر محايداً للجمع. ﺧﺬ ﺃﻱ ﻋﺪﺩ ﻭﺍﺿﺮﺑﻪ ﺑﺎﻟﻮﺍﺣﺪ، ﻭﺳﺘﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﻧﻔﺴﻪ \( 5=1×5\). ﻓﻘﻂ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻮﺍﺣﺪ، ﻧﺴﺘﻄﻴﻊ ﺍﻟﺒﺪﺀ ﺑﺒﻨﺎﺀ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ، حيث يمكننا ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻮﺍﺣﺪ على وجه الخصوص ﻟﻠﺤﺼﻮﻝ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻄﺒﻴﻌﻴﺔ natural numbers وهي 0,1,2,3,4,5 ﻭﻫﻜﺬﺍ. حيث نتابع بإﺿﺎﻓﺔ ﺍﻟﻮﺍﺣﺪ ﺇﻟﻰ نفسه ﻟﻠﺤﺼﻮﻝ ﻋﻠﻰ ﻫﺬﻩ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻷﺧﺮﻯ: \(3=2+1 \)، \(2=1+1\)، \(4=3+1\)ﻭﻧﺴﺘﻤﺮ ﻫﻜﺬﺍ ﺣﺘﻰ ﺍﻟﻮﺻﻮﻝ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻼﻧﻬﺎﻳﺔ.
ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻄﺒﻴﻌﻴﺔ ﻫﻲ ﻣﻌﻈﻢ ﺃﻋﺪﺍﺩﻧﺎ ﺍﻷﺳﺎﺳﻴﺔ، إذ ﻧﺴﺘﺨﺪﻣﻬﺎ ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺍﻷشياء كما ﻧﺴﺘﻄﻴﻊ ﺃﻳﻀﺎً ﺍﻟﻘﻴﺎﻡ بالعمليات الحسابية ﺑﻮﺍﺳﻄﺔ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻄﺒﻴﻌﻴﺔ. فإذا جمعت أو ضربت عددين طبيعيين ستحصل على عدد طبيعي جديد.
ﻳﻤﻜﻨﻨﻲ ﺃﻳﻀﺎً ﻓﻲ ﺑﻌﺾ ﺍﻷﺣﻴﺎﻥ، ﻭﻟﻴﺲ ﺩﺍﺋﻤﺎً، ﻃﺮﺡ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻃﺒﻴﻌﻴﻴﻦ، ﺃﻭ ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻃﺒﻴﻌﻴﻴﻦ ﺃﺣﺪﻫﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻵﺧﺮ .\(4=6-10\) و \(3=4÷12\). يمكننا ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﺼﻔﺮ ﻭﺍﻟﻮﺍﺣﺪ، ﻭﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻨﺎ ﺍﻟﺤﺴﺎﺑﻴﺔ ﺍﻷﺳﺎسية فقط، أن نقوم فعلاً ﺑﻜﻤﻴﺔ ﺟﻴﺪﺓ من العمليات الرياضية ﻓﻘﻂ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻄﺒﻴﻌﻴﺔ.
-1 الواحد السالب
ﻓﻲ ﺍﻟﺒﺪﺍﻳﺔ، ﻟﻴﺲ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻤﻜﻦ ﺩﺍﺋﻤﺎً ﻃﺮﺡ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻃﺒﻴﻌﻴﻴﻦ ﻭﺍﻟﺤﺼﻮﻝ ﻋﻠﻰ ﻋﺪﺩ ﻃﺒﻴﻌﻲ. ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻫﺬﺍ ﻛﻞ ﻣﺎ ﺃﻣﻠﻜﻪ ﻟﻠﻘﻴﺎﻡ ﺑﺎﻟﻌﻤﻞ ﻣﻊ ﻫﺬﻩ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺤﺴﺎﺑﻴﺔ، ﻓﺄﻧﺎ ﻟﻴﺲ ﻟﺪﻱ ﻓﻜﺮﺓ ﻋﻦ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﻣﺜﻞ \(3-8\).
إحدى ﺍﻷﺷﻴﺎﺀ ﺍﻟﺮﺍﺋﻌﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ، ﺃﻧﻪ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻧُﻮﺍﺟﻪ ﺑﻘﻴﻮﺩ كتلك، فإننا ﻧﺴﺘﻄﻴﻊ ﺗﻮﺳﻴﻊ ﻧﻈﺎﻡ ﻋﻤﻠﻨﺎ ﻹﺯﺍﻟﺔ ﺍﻟﻘﻴﺪ. ﻟﻠﺴﻤﺎﺡ ﺑﺎﻟﻄﺮﺡ، ﻧﻀﻴﻒ 1- ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻤﺘﻨﺎﻣﻴﺔ ﻟﺪﻳﻨﺎ.
ﻳﺠﻠﺐ ﺍﻟﺮﻗﻢ 1- ﻣﻌﻪ ﻛﻞ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺍﻟﺴﻠﺒﻴﺔ ﺍﻷﺧﺮﻯ، ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻧﻀﺮﺏ ﻋﺪﺩﺍً ﻣﻮﺟﺒﺎً ﺏ 1- ﻳﻌﻄﻲ ﺍﻟﻨﺴﺨﺔ ﺍﻟﺴﺎﻟﺒﺔ ﻣﻦ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻌﺪﺩ : \(-1×3 =-3\)
ﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﺇﺣﻀﺎﺭ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺍﻟﺴﺎﻟﺒﺔ، ﻧﺤﻞ ﻣﺸﻜﻠﺔ ﺍﻟﻄﺮﺡ\(3-8=-5\).
ﺑﻮﺿﻊ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻤﻮﺟﺒﺔ، ﻭﺍﻟﺼﻔﺮ، ﻭﺃﻋﺪﺍﺩﻧﺎ ﺍﻟﺴﺎﻟﺒﺔ ﺍﻟﺠﺪﻳﺪﺓ ﻣﻌﺎً ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ the integers، ﻭﻧﺴﺘﻄﻴﻊ ﺩﺍﺋﻤﺎً ﻃﺮﺡ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﺻﺤﻴﺤﻴﻦ ﻣﻦ ﺑﻌﻀﻬﻤﺎ ﻭﺍﻟﺤﺼﻮﻝ ﻋﻠﻰ ﻋﺪﺩ ﺻﺤﻴﺢ ﻛﻨﺘﻴﺠﺔ. ﺗﺸﻜﻞ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﻧﻘﺎﻁ ﺍﻻﺭﺗﻜﺎﺯ ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ. تفيد ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺍﻟﺴﻠﺒﻴﺔ ﻓﻲ ﺗﻤﺜﻴﻞ ﺍﻟﻌﺠﺰ، ﺇﺫﺍ ﻛﻨﺖ ﻣﺪﻳﻨﺎً ﻟﻠﺒﻨﻚ ﺏ 500 ﺩﻭﻻﺭ، ﻳﻤﻜﻨﻨﻲ ﺍﻟﺘﻔﻜﻴﺮ ﺃﻥ ﺭﺻﻴﺪﻱ ﻓﻲ ﺍﻟﺒﻨﻚ ﻫﻮ 500-.
ﻧﺴﺘﺨﺪﻡ ﺃﻳﻀﺎً ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺴﺎﻟﺒﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﻜﻮﻥ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺑﻌﺾ ﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺪﺭﺟﺔ، ﺣﻴﺚ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺗﺤﺖ ﺍﻟﺼﻔﺮ ﻣﻤﻜﻨﺔ، ﻣﺜﻞ ﺩﺭﺟﺎﺕ ﺍﻟﺤﺮﺍﺭﺓ. ﻓﻲ ﺍﻷﺭﺍﺿﻲ ﺍﻟﻤﺘﺠﻤﺪﺓ ﻓﻲ ﻣﺴﻘﻂ ﺭﺃﺳﻲ ﻓﻲ ﺑﻮﻓﺎﻟﻮ، ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺑﻀﻌﺔ ﺃﻳﺎﻡ ﻓﻲ ﻓﺼﻞ ﺍﻟﺸﺘﺎﺀ ﻛﻞ ﺳﻨﺔ ﺗﻨﺨﻔﺾ ﺩﺭﺟﺔ ﺍﻟﺤﺮﺍﺭﺓ ﺇﻟﻰ حدود 20-.
ﻭﺍﺣﺪ ﻋﻠﻰ ﻋﺸﺮﺓ
ﻻ ﺗﺰﺍﻝ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﻏﻴﺮ ﻣﻜﺘﻤﻠﺔ ﺣﺴﺎﺑﻴﺎً، ﺑﻴﻨﻤﺎ ﻧﺴﺘﻄﻴﻊ ﺩﺍﺋﻤﺎً ﺃﻥ ﻧﻀﻴﻒ ﺃﻭ ﻧﻄﺮﺡ ﺃﻭ ﻧﻀﺮﺏ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﺻﺤﻴﺤﻴﻦ ﻭﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﺁﺧﺮ ﺻﺤﻴﺢ، ﻻ ﻧﺴﺘﻄﻴﻊ ﺍﻟﺤﺼﻮﻝ ﻋﻠﻰ ﻋﺪﺩ ﺻﺤﻴﺢ ﻋﻦ ﻃﺮﻳﻖ ﻗﺴﻤﺔ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﺻﺤﻴﺤﻴﻦ. فالعملية \(5÷8\) ﻻﻣﻌﻨﻰ ﻟﻬﺎ ﺇﻥ ﻛﺎﻥ كل ما لدينا هو ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍلكاملة.
ﻟﻠﺘﻌﺎﻣﻞ ﻣﻊ ﻫﺬﺍ، ﻧﻀﻴﻒ 10/1 ﺃﻭ 0.1 ﻟﺨﻂ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ. وبوجود 0.1، ﻭﺍﻟﻘﻮﻯ ﻣﻦ 0.1 ، 0.01 ، 0.001 ، 0.0001 ﻭﻫﻜﺬﺍ، ﻧﺴﺘﻄﻴﻊ ﺍﻵﻥ ﺗﻤﺜﻴﻞ ﺍﻟﻜﺴﻮﺭ ﻭﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻳﺔ حيث يصبح \(5÷8=1.6\).
نحصل ﺑﺘﻘﺴﻴﻢ ﺃﻱ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﺻﺤﻴﺤﻴﻦ (ﻣﺎ ﻋﺪﺍ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ﺻﻔﺮ)، ﻋﻠﻰ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﻋﺸﺮﻳﺔ ﺇﻣﺎ ﻣﻨﺘﻬﻴﺔ ﻣﺜﻞ 1.6 ﺃﻭ ﻟﺪﻳﻬﺎ رقم أو ﻧﻤﻂ ﺃﺭﻗﺎﻡ ﻣﺘﻜﺮﺭ دوري ﻣﺜﻞ \(3÷1=0.3333\) ﺣﻴﺚ ﺗﺴﺘﻤﺮ ﺍلثلاثات ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻼﻧﻬﺎﻳﺔ.
ﻫﺬﻩ ﺍﻷﻧﻮﺍﻉ ﻣﻦ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻳﺔ تسمى ﺃﻋﺪﺍﺩاً نسبية (أو عادية) rational numbers، ﻷﻧﻪ ﻳﻤﻜﻨﻨﺎ ﺗﺸﻜﻠﻴﻬﺎ ﻋﻦ ﻃﺮﻳﻖ أﺧﺬ ﺍﻟﻜﺴﻮﺭ، ﺃﻭ ﺍﻟﻨﺴﺐ، ﻣﻦ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﺻﺤﻴﺤﻴﻦ. تتميز ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺍلنسبية (العادية) بكونها ﻣﻨﺘﻬﻴﺔ ﺣﺴﺎﺑﻴﺎً، ﻭﻫﺬﺍ ﻳﻌﻨﻲ ﺃﻧﻪ ﺑﺈﻣﻜﺎﻧﻲ ﺃن آﺧﺬ ﺍﺛﻨﻴﻦ ﻣﻦ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺍلنسبية ﻭﺃﺿﺮﺑﻬﺎ، ﻭﺃﺟﻤﻌﻬﺎ ﻭﺃﻃﺮﺣﻬﺎ، ﺃﻭ ﺃﻗﺴﻤﻬﺎ ﻭﺃﺣﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﻋﺪﺩ نسبي ﺁﺧﺮ.
ﺗﺴﻤﺢ ﻟﻨﺎ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺍلنسبية ﺑﺘﻤﺜﻴﻞ ﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ ﺑﻴﻦ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ، ﺃﻭ ﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ ﺍﻟﻜﺴﺮﻳﺔ. ﺇﺫﺍ ﺗﻘﺎﺳﻤﺖ ﻛﻌﻜﺔ ﻣﻊ ﺛﻼﺛﺔ ﻣﻦ ﺍﻷﺻﺪﻗﺎﺀ ﻭﻗﺴﻤﺘﻬﺎ ﺑﺎﻟﺘﺴﺎﻭﻱ، ﺳﻴﺤﺼﻞ ﻛﻞ ﻣﻨﺎ ﻋﻠﻰ ¼ ﺃﻭ 0.25 ﺃﻭ %25 ﻣﻦ ﺍﻟﻜﻌﻜﺔ. ﺗﺴﺎﻋﺪﻧﺎ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺍلنسبية ﻓﻲ ﺍﻟﺒﺪﺀ ﺑﻤﻸ ﺍﻟﻔﺮﺍﻏﺎﺕ ﺑﻴﻦ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﻓﻲ ﺧﻂ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ.
ﺍﻟﺠﺬﺭ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻲ ﻟﻠﻌﺪﺩ 2
ﺍﻟﺠﺬﺭ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻲ ﻟﻌﺪﺩ ﻫﻮ ﻋﺪﺩ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﺮﺑﻌﻪ ﺃﻭ ﺗﻀﺮﺑﻪ ﺑﻨﻔﺴﻪ، ﻳﻌﻄﻴﻚ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻷﺻﻠﻲ. ﻟﺬﻟﻚ ﺍﻟﺠﺬﺭ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻲ لـ 9 ﻫﻮ 3 ، \( 32 = 3 × 3 = 9\) ﻧﺴﺘﻄﻴﻊ ﺃﻥ ﻧﺠﺪ ﺍﻟﺠﺬﺭ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻲ ﻷﻱ ﻋﺪﺩ ﻣﻮﺟﺐ، ﻟﻜﻦ في ﺑﻌﺾ ﺍﻻﺳﺘﺜﻨﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻘﻠﻴﻠﺔ، ﻓﺈﻥ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺠﺬﻭﺭ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ تصبح فوضوية.
ﺍﻟﺠﺬﺭ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻲ ﻟﻠﻌﺪﺩ 2 ﻫﻮ ﻋﺪﺩ ﻓﻮﺿﻮﻱ، ﺇﻧﻪ ﻋﺪﺩ ﻏﻴﺮ نسبي، ﻭﻫﺬﺍ ﻳﻌﻨﻲ ﺃﻥ ﺗﻮﺳﻌﻪ ﺍﻟﻌﺸﺮﻱ ﻻ ﻳﻨﺘﻬﻲ ﻭﻻ ﻳﺴﺘﻘﺮ ﻋﻠﻰ ﻧﻤﻂ ﺗﻜﺮﺍﺭ ﻣﻌﻴﻦ، حيث ﻳﺒﺪﺃ ﺍﻟﺠﺬﺭ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻲ ﻟﻠﻌﺪﺩ 2 بهذه ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ 1.41421356237 ﻭﻳﺴﺘﻤﺮ بأرقام ﻏﺮﻳﺒﺔ ﻭﻋﺸﻮﺍﺋﻴﺔ.
ﻭﺗﺒﻴﻦ ﺃﻥّ ﺍﻟﺠﺬﻭﺭ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﻟﻤﻌﻈﻢ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍلنسبية ﻫﻲ أعداد غير نسبية فيما عدا ﺍﻻﺳﺘﺜﻨﺎﺀﺍﺕ كاﻟﻌﺪﺩ 9، فتدعى عندها باﻟﻤﺮﺑﻌﺎﺕ ﺍﻟﻜﺎﻣﻠﺔ. ﺍﻟﺠﺬﻭﺭ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﻣﻬﻤﺔ ﺟﺪﺍً ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺒﺮ ﺣﻴﺚ ﺗﺸﻜﻞ ﺍﻟﻜﺜﻴﺮ ﻣﻦ ﺍﻟﺤﻠﻮﻝ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻻﺕ، ﻋﻠﻰ ﺳﺒﻴﻞ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ، ﺍﻟﺠﺬﺭ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻲ ﻟﻠﻌﺪﺩ 2 ﻫﻮ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﻋﻦ ﺣﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ \(x2 =2\).
ﻋﻦ ﻃﺮﻳﻖ ﻭﺿﻊ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍلنسبية ﻭﻏﻴﺮ ﺍلنسبية ﻣﻌﺎً، ﻧﻜﻤﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ، وﻳﻄﻠﻖ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﻜﺎﻣﻠﺔ ﻣﻦ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍلنسبية ﻭﻏﻴﺮ ﺍلنسبية ﺑﺎﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ the real numbers، ﻭﻫﺬﻩ ﻫﻲ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺍﻷﻛﺜﺮ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻣﺎً ﻓﻲ ﺟﻤﻴﻊ ﺃﻧﻮﺍﻉ ﺍﻟﺤﺴﺎﺑﺎﺕ.
ﺍﻵﻥ ﺃﻛﻤﻠﻨﺎ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ، ﻧﺴﺘﻄﻴﻊ ﺃﻥ ﻧﻠﻘﻲ ﻧﻈﺮﺓ ﻋﻠﻰ ﺑﻀﻊ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﻏﻴﺮ نسبية ﻣﻬﻤﺔ.
ﺑﺎﻱ ( pi )
ﻫﻮ ﻧﺴﺒﺔ ﻣﺤﻴﻂ ﺃﻱ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﺇﻟﻰ ﻗﻄﺮﻫﺎ، ﺭﺑﻤﺎ ﻫﻮ ﺍﻟﻌﺪﺩ المستخدم ﺍﻷﻛﺜﺮ ﺃﻫﻤﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ. ﻳﻈﻬﺮ ﺑﺎﻱ ﺑﺸﻜﻞ ﺃﺳﺎﺳﻲ ﻓﻲ ﺃﻱ ﺻﻴﻐﺔ ﺗﺘﻀﻤﻦ ﺩﻭﺍﺋﺮ ﺃﻭ ﻛﺮﺍﺕ، ﻋﻠﻰ ﺳﺒﻴﻞ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ، ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻫﺎ r ﻫﻲ \(πr2\) ﻭﺣﺠﻢ ﻛﺮﺓ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻫﺎ r ﻫﻮ \( (3÷4)πr3\)
ﻳﻈﻬﺮ π ﺑﻮﺿﻮﺡ ﻓﻲ ﻋﻠﻢ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﺎﺕ، 2π ﻫﻲ الدور لحركة ﺍﻟﺪﺍﻟﺘﻴﻦ ﺍﻷﺳﺎﺳﻴﺘﻴﻦ ﻓﻲ ﻋﻠﻢ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﺎﺕ ﺍﻟﺠﻴﺐ ﻭﺍﻟﺘﺠﻴﺐ sine and cosine. ﻫﺬﺍ ﻳﻌﻨﻲ ﺃﻥ ﺍﻟﺪﺍﻻﺕ ﺗﻌﻴﺪ ﻧﻔﺴﻬﺎ ﻛﻞ \(2π\) تمثل ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺪﺍﻻﺕ ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﺑﺎﻱ، ﻣﻔﺘﺎﺡ 8ﺍﻟﻌﻤﻞ ﻓﻲ ﺃﻱ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺩﻭﺭﻳﺔ ﺃﻭ ﺗﻜﺮﺍﺭﻳﺔ، ﻭﺧﺼﻮﺻﺎً ﻓﻲ ﻭﺻﻒ ﺍﻷﺷﻴﺎﺀ ﻣﺜﻞ ﺍﻷﻣﻮﺍﺝ ﺍﻟﺼﻮﺗﻴﺔ.
يعتبر العدد π عدداً غير نسبي مثله كمثل الجذر التربيعي للعدد 2 وهذا يعني أن توسعه اﻟﻌﺸﺮﻱ لا ينتهي ولا يتكرر. أما بالنسبة للأﺭﻗﺎﻡ ﺍﻟﻘﻠﻴﻠﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻣﻦ ﺑﺎﻱ فهي ﻣﺄﻟﻮﻓﺔ ﺟﺪﺍً: 3.14159....
ﻭﺟﺪ ﻋﻠﻤﺎﺀ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺃﺟﻬﺰﺓ ﺍﻟﻜﻤﺒﻴﻮﺗﺮ ﺍﻟﻜﺒﻴﺮﺓ ﺃﻭﻝ 10 ﺗﺮﻟﻴﻮﻥ مرتبة ﻣﻦ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺑﺎﻱ ﺃﻭ ﻣﺎ ﻳﻘﺎﺭﺏ ﻫﺬﺍ، ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺮﻏﻢ ﻣﻦ ﺃﻥّ ﻣﻌﻈﻢ ﺍﻟﺘﻄﺒﻴﻘﺎﺕ ﻓﻲ ﺃﻳﺎﻣﻨﺎ، تحتاج ﻓﻘﻂ ﻷﻭﻝ ﻋﺪﺓ ﺃﺭﻗﺎﻡ ﻟﻠﺤﺼﻮﻝ ﻋﻠﻰ ﻧﺘﺎﺋﺞ ﺩﻗﻴﻘﺔ ﺑﻤﺎ ﻓﻴﻪ ﺍﻟﻜﻔﺎﻳﺔ.
ﻋﺪﺩ ﺃﻭﻳﻠﺮ e
يعتبر ﻋﺪﺩ ﺃﻭﻳﻠﺮ e ، ﺃﺳﺎسياً ﻟﻠﻌﻤﻞ ﻣﻊ ﺍلدالات ﺍﻷﺳﻴﺔ exponential functions، حيث ﺗﻤﺜﻞ ﺍﻟﺪالات ﺍﻷﺳﻴﺔ تلك ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﺗﻀﺎﻋﻒ ﺃﻭ تنقص ﻧﻔﺴﻬﺎ إلى النصف خلال مدة زمنية ثابتة.
ﺇﺫﺍ ﺑﺪﺃﺕ ﺑﺎﺛﻨﻴﻦ ﻣﻦ ﺍﻷﺭﺍﻧﺐ، ﺑﻌﺪ ﺷﻬﺮ ﺳﺄﺣﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﺃﺭﺑﻌﺔ، ﺑﻌﺪ ﺷﻬﺮﻳﻦ ﺳﺄﺣﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﺛﻤﺎﻧﻴﺔ ﺃﺭﺍﻧﺐ، ﻭﺑﻌﺪ ﺛﻼﺛﺔ ﺃﺷﻬﺮ ﺳﺄﺣﺼﻞ ﻋﻠﻰ 16 ﺃﺭﻧﺐ . ﺑﺸﻜﻞ ﻋﺎﻡ ﺑﻌﺪ n ﺷﻬﺮ، ﺳﺄﺣﺼﻞ ﻋﻠﻰ 2n+1 ﺃﺭﻧﺐ، ﺃﻭ 2 ﻣﻀﺮﻭﺑﺔ ﺑﻨﻔﺴﻬﺎ n+1 ﻣﺮﺓ.
إن e ﻋﺪﺩ ﻏﻴﺮ نسبي ، بقيمة تقريبية 2.71828 ، لكنه ككل ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ الغير نسبية، فإن ﺍﻟﺘﻮﺳﻊ ﺍﻟﻌﺸﺮﻱ له ﻳﻤﻀﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻼﻧﻬﺎﻳﺔ ﺑﺪﻭﻥ ﻧﻤﻂ ﺗﻜﺮﺍﺭ. تمثل ex ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻷﺳﻴﺔ ﺍﻟﻄﺒﻴﻌﻴﺔ، ﻭﺍﻷﺳﺎﺱ ﻷﻱ ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺳﻴﺔ ﺃﺧﺮﻯ. إن السبب وراء أهمية و خصوصية ex ﻣﻌﻘﺪ ﻗﻠﻴﻼً، ﻷﻭﻟﺌﻚ ﺍﻟﺬﻳﻦ ﺷﺎﻫﺪﻭﺍ ﺍﻟﺘﻔﺎﺿﻞ ﻭﺍﻟﺘﻜﺎﻣﻞ، ﺭﺑﻤﺎ ﺗﻌﺮﻑ أن ﻣﺸﺘﻖ ex ﻫﻮ ex.
ﻫﺬﺍ ﻳﻌﻨﻲ ﺃﻧﻪ، ﻷﻱ ﻗﻴﻤﺔ ﻣﻌﻴﻨﺔ لـ x ﻧﻌﻮﺿﻬﺎ ﻓﻲ ex ﻣﻌﺪﻝ ﺯﻳﺎﺩﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻓﻲ ﺗﻠﻚ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﻫﻮ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ. ﻣﻦ ﺃﺟﻞ x=2 ﺗﺰﺩﺍﺩ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ex ﺑﻤﻌﺪﻝ e2. ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺨﺎﺻﻴﺔ ﻓﺮﻳﺪﺓ ﻣﻦ ﻧﻮﻋﻬﺎ ﺑﺸﻜﻞ ﺃﺳﺎﺳﻲ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﺪﺍﻻﺕ، ﻣﻤﺎ ﻳﺠﻌﻞ العمليات الرياضية على ex مميزة للغاية.
تتميز ex بكونها ﻣﻔﻴﺪﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﻌﻤﻞ على ﺃﻏﻠﺐ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﺍﻷﺳﻴﺔ. حيث أن إحدى ﺍﻛﺜﺮ ﺍﻟﺘﻄﺒﻴﻘﺎﺕ ﺍﻟﻤﻌﺮﻭﻓﺔ ﻫﻮ ﺍﻟﺤﺼﻮﻝ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻔﺎﺋﺪﺓ ﺍﻟﻤﺮﻛﺒﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺗﺘﺮﺍﻛﻢ ﺑﺎﺳﺘﻤﺮﺍﺭ. ﻣﻊ ﺭﺃﺱ ﺍﻟﻤﺎﻝ ﺍﻷﺳﺎﺳﻲ p، ﻭﻣﻌﺪﻝ ﺍﻟﺮﺑﺢ ﺍﻟﺴﻨﻮﻱ r، فإن قيمة ﺍﻻﺳﺘﺜﻤﺎﺭ A ﺑﻌﺪ ﻋﺪﺩ ﺳﻨﻮﺍﺕ ﻣﻘﺪﺍﺭﻩ t ﻳﻌﻄﻰ ﺑﺎﻟﺼﻴﻐﺔ A=Pert.
ﺍﻟﺠﺬﺭ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻲ ﻝ 1- ﺃﻭ i
ﺫﻛﺮﻧﺎ ﺳﺎﺑﻘﺎً ﺃﻧﻨﺎ ﻧﺴﺘﻄﻴﻊ ﺃﺧﺬ ﺍﻟﺠﺬﺭ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻲ ﻷﻱ ﻋﺪﺩ ﻣﻮﺟﺐ، ﺳﻨﺮﻯ ﺍﻵﻥ ﻣﺎﺫﺍ ﺳﻴﺤﺪﺙ ﻣﻊ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺴﺎﻟﺒﺔ. ﻻ ﺗﻤﻠﻚ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺴﺎﻟﺒﺔ ﺟﺬﺭاً تربيعياً ﻓﻲ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﺔ.
إذا ضربت ﻋﺪﺩﻳﻦ ﺳﺎﻟﺒﻴﻦ ﺑﺒﻌﻀﻬﻤﺎ ينتج ﻋﺪﺩ ﻣﻮﺟﺐ، ﻟﺬﻟﻚ ﺗﺮﺑﻴﻊ ﺃﻱ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻳﻨﺘﺞ ﻋﺪﺩﺍً ﻣﻮﺟﺒﺎً، ﻟﺬﻟﻚ ﻟﻴﺲ ﻫﻨﺎلك ﻃﺮﻳﻘﺔ ﻟﻀﺮﺏ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ ﺑﻨﻔﺴﻪ ﻭﺍﻟﺤﺼﻮﻝ ﻋﻠﻰ ﻋﺪﺩ ﺳﺎﻟﺐ.
ﻟﻜﻦ ﻛﻤﺎ ﺭﺃﻳﻨﺎ ﺳﺎﺑﻘﺎً، ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻧﻮﺍﺟﻪ ﻗﻴﻮﺩاً واضحة ﻣﺜﻞ ﻫﺬﻩ ﻓﻲ ﻧﻈﺎﻡ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ، ﻧﺴﺘﻄﻴﻊ ﺗﻮﺳﻴﻊ ﻧﻈﺎﻡ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﻹﺯﺍﻟﺔ ﺍلقيد. ﻭﻫﻜﺬﺍ ظهر أمامنا قيد ﺑﺄنه ليس لدينا جذﺭ ترﺑﻴﻌﻲ لـ 1- ، ﻭلكننا ﺑﺒﺴﺎﻃﺔ ﻧﺴﺄﻝ ﻧﻔﺴﻨﺎ ﻣﺎﺫﺍ ﺳﻴﺤﺪﺙ ﻟﻮ كان لدينا.
ﻧﻌﺮّﻑ i -وهي ﻭﺣﺪﺓ ﺗﺨﻴﻠﻴﺔ- ﻟﺘﻜﻮﻥ ذلك الجذﺭ الترﺑﻴﻌﻲ (الجذر التربيعي لـ 1-)، ﻭﺑﻮﺿﻊ ﺟﻤﻴﻊ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻷﺧﺮﻯ ﺍﻟﺘﻲ ﻧﺤﺘﺎﺟﻬﺎ ﻟﻠﺘﺄﻛﺪ ﻣﻦ ﺃﻥّ ﺍﻟﺠﻤﻊ ﻭﺍﻟﻄﺮﺡ ﻭﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻭﺍﻟﻀﺮﺏ ﻻ ﺯﺍﻟﺖ ﺗﺤﻤﻞ ﻣﻌﻨﻰ، فإننا ﻧﻮﺳﻊ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻟﺘﺸﻜﻴﻞ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻌﻘﺪﻳﺔ the complex numbers.
ﺗﻤﻠﻚ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻌﻘﺪﻳﺔ ﺍﻟﻌﺪﻳﺪ ﻣﻦ ﺍﻟﺨﺼﺎﺋﺺ ﻭﺍﻟﺘﻄﺒﻴﻘﺎﺕ ﺍﻟﺮﺍﺋﻌﺔ. وكما قمنا بتمثيل ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ على مستقيم، ﻧﺴﺘﻄﻴﻊ ﺗﻤﺜﻴﻞ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻌﻘﺪﻳﺔ ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮﻱ، ﺑﻤﺤﻮﺭ ﺃﻓﻘﻲ ﻟﺘﻤﺜﻴﻞ ﺍﻟﺠﺰﺀ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﻣﻦ ﺍﻟﻌﺪﺩ، ﻭﻣﺤﻮﺭ ﺭﺃﺳﻲ أو عمودي لتمثيل ﺍﻟﻌﻨﺼﺮ ﺍﻟﺘﺨﻴﻠﻲ، ﻭبالتالي ﺗﻤﺜﻴﻞ ﺍﻟﺠﺬﺭ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻲ ﻟﺒﻌﺾ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺴﺎﻟﺒﺔ.
ﺗﻤﻠﻚ ﺃﻱ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻛﺜﻴﺮة الحدﻭﺩ حلاً ﻭﺍﺣﺪاً ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗﻞ ﻓﻲ مجموعة ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻌﻘﺪﻳﺔ، وهي نتيجة هامة للغاية لدرجة أن ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﻴﻦ يدعونها ﺍﻟﻨﻈﺮﻳﺔ ﺍﻷﺳﺎﺳﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺒﺮ. ﺗﻨﺘﺞ ﻫﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻱ ﺍﻟﻌﻘﺪﻱ ﺑﻌﺾ ﺍﻟﻨﺘﺎﺋﺞ ﺍﻟﻤﻔﺎﺟﺌﺔ ﻭﺍﻷنيقة، ﻭﻟﺪﻳﻬﺎ ﺍﻟﻌﺪﻳﺪ ﻣﻦ ﺍﻟﺘﻄﺒﻴﻘﺎﺕ ﻓﻲ ﻓﻴﺰﻳﺎﺀ ﺍﻟﻜﻬﺮﺑﺎﺀ ﻭﻓﻲ ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ الكهربائية.
